בית / מדע / מתמטיקה / איך לפתור משוואות דיפרנציאלי ליניארי

כיצד לפתור משוואות דיפרנציאלי ליניארי

/
73 צפיות

כיצד לפתור משוואות דיפרנציאלי ליניארי</a>

המשוואה הדיפרנציאלית שבה הפונקציה הידועה לנגזר שלו כוללות ליניארי, דהיינו מהדרגה הראשונה, שנקראה משוואת דיפרנציאלית לינארית של הצו הראשון.

הוראה

    1

מבט כללי על משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון הוא:

y? + P (x) * y = f (x),

איפה y - פונקציה ידועה, ו- p (x) ו f (x) -כמה פונקציות שצוינו. הם נחשבים רציפים באזור שבו אתה רוצה לשלב את המשוואה. בפרט, הם עשויים להיות קבועים.

    2

אם f (x)? 0, אז המשוואה נקראת odnorodnym- אם לא - אז, בהתאמה, הומוגניות.

    3

המשוואה ליניארית הומוגנית יכולה להיפתר על ידי הפרדת משתנים. הצורה הכללית שלה: y? + P (x) * y = 0, ולכן:

dy / dx = -p (x) * y, מה שמרמז על כך dy / y = -p (x) dx.

    4

שילוב שני הצדדים של המשוואה וכתוצאה מכך, נקבל:

= (Dy / y) -?? P (x) dx, כי הוא, LN (y) = -? P (x) dx + ln (C) או y = C * e ^ (-? P (x) dx) ).

    5

פתרון של משוואה ליניארית הומוגניות יכול להיותלסגת הפתרונות של המקבילים הוא הומוגני, כי, באותה משוואה עם הצד הימני של F ירד (x). כדי לעשות זאת, להחליף את קבוע C בתמיסה של הפונקציה הידועה המשוואה הומוגנית? (X). אז הפתרון של המשוואה הומוגניות יוצג בצורה של:

? Y = (x) * e ^ (-? P (x) dx)).

    6

ההבחנה בין ביטוי זה, אנו רואים כי הנגזרים של Y הוא:

y? = ?? (x) * e ^ (-? P (x) dx) -? (X) * p (x) * e ^ (-? P (x) dx).

החלפת הביטויים עבור y ו- y? למשוואה המקורית ומפשטים להשיג בקלות להגיע לתוצאה:

ד? / DX = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

    7

לאחר שילוב שני הצדדים של אותו מקבל סוג:

? (X) =? (F (x) * e ^ (? P (x) dx)) DX + C1.

לפיכך, y הפונקציה הידוע מבוטא:

y = e ^ (-? p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) DX).

    8

אם אנחנו משווים את קבוע C לאפס, אז הביטוי עבור Y ניתן להשיג פתרון מסוים של המשוואה הנתונה:

y1 = (e ^ (-? p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) DX).

ואז, פתרון מלא יכול להתבטא:

y = y1 + C * e ^ (-? p (x) dx)).

    9

במילים אחרות, פתרון מלא של ליניאריתמשוואות דיפרנציאליות הומוגניות של הצו הראשון הן שווה לסכום של הפתרון שלה בפרט ואת הפתרון הכללי של המשוואה ליניארית הומוגנית המקבילה של הצו הראשון.

כיצד לפתור משוואות דיפרנציאלי ליניארי זה שונה לאחרונה: ה -21 ביוני, 2017 על ידי vashuorm
זהו טקסט תחתון מיכל הפנימי ראשי